インターネットで検索して出てきた犬の画像を、自分のSNSに勝手に掲載するのは違法ですか？
引用としての掲載以外は、原則違法となります。
画像には、基本的に著作権があります。
イラストであれば書いた人、写真であれば撮影した人に著作権は帰属します。
SNSで、他者の著作物を無断で掲載・発信することは、「公衆送信権の侵害」にあたり、違法行為となります。（ブログやWebサイトでの掲載も同様です。）
ただ、掲載内容が「引用」に当たる場合は、違法にはなりません。
引用と認められるには、以下のような条件を満たしている必要があります。
- 当該画像の引用に必然性があること
- 自分の著作物が「主」であり、引用物は「従」であること
- 引用部分が明示的であること
- 引用元の記載が明確であること
1の必然性とは、「他でなく、その画像でないといけない理由」を指します。
2の主従関係とは、「主」となる自らの主張が大部分を占め、その補助として引用を活用する（＝「従」）ことを指します。
3の引用部分の明示とは、例えば引用部分のみ四角で囲われていたり、書体が他と異なっていたりと、全体における引用部分が区別されていることを指します。
4の引用元の記載は、記載方法に規定のルールがあるわけではなく、引用であることが明らかに伝わることを意味します。
これらの条件を下に「引用」として画像を活用することは、違法にはなりません。
世の中には、「実は違法行為である」という事案がたくさん見られますが、著作権法違反は「親告罪（被害者の告訴がない限り起訴されない罪）」に分類される場合も多いため、問題として表面化しないケースが大多数です。
日々の何気ない活動に違法行為がないか、十分に留意が必要です。